復習

族(ぞく、family)は、添字付けされた元(要素)の(一般には非可算無限個の)集まり[1]で、対、n-組、列などの概念の一般化である。系(けい、collection)と呼ぶこともある。


元がどのような対象であるかによって、点族、集合族(集合系)、関数族(関数系)などと呼ばれる。

  • 定義

集合 I から集合 X への写像 A: I → X が与えられたとき、これを X の元の集まりとみなしたものを、I を添字集合 (index set) とする X の元の族という。
添字集合 I の元を添字 (index) という。I の要素を仮に i, j, ... と表すとき、A(i), A(j), ... の代わりに、通例 Ai, Aj, ... といった記法を用い、この族を
(A_i \, | \, i \in I), \qquad A_{i \in I}, \qquad {A_i | i \in I}, \qquad \{A\}_{i \in I}
などであらわす。これを添字記法などと呼ぶこともある。



集合代数とσ-代数 [ - Lebesgue積分]


まずは基本となる Lebesgue積分論 に於ける用語の定義です.


Def
X を集合 , M を X 上の部分集合族とする.
(1) φ ∈ M
(2) A ∈ M ⇒ Ac = X\A ∈ M を満たす時 , M を 集合代数 と言う.


さらに集合代数 M が
(3) σ - 加法性 : ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∪n=1∞ An ∈ M を満たす時 , M を σ - 代数 と言う.


集合と σ - 代数 の組 (X , M) を 可測空間 と言う.




Prop
(X , M) を 可測空間とする. このとき, ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∩n=1∞ An ∈ M
M を集合代数とすれば , A , B ∈ M ⇒ A\B ∈ M


( Proof )
(X , M) は測度空間なので, ∀n ∈ N ( An ∈ M) ⇒ Anc ∈ M.
これより, ∪n=1∞ Anc ∈ M.
故に, ∩n=1∞ An = (∪n=1∞ Anc)c ∈ M.


また, M を X 上の集合代数とすると
A , B ∈ M ⇒ Ac , Bc ∈ M となるので
Ac ∪ Bc ∈ M となる.
故に, A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c ∈ M.


なのでこれより, A \ B = (A ∩ Bc) ∈ M となる.

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